Usando os números como ferramentas 

 

Neste módulo, vamos retomar conceitos que foram explorados nos módulos anteriores. Nosso foco será os números decimais. Por que, afinal de contas, estamos insistindo no estudo desses números? Um dos motivos é que eles são ferramentas importantes para representar quantidades e resolver problemas.

Quando os números decimais aparecem? Quando precisamos medir uma quantidade, inventamos uma unidade de medida. Por exemplo, usamos a hora como unidade de medida do tempo. Em muitas épocas e ainda hoje, em muitos lugares, as pessoas não têm necessidade de medir a passagem do tempo: se orientam pelo nascer e pôr-do-sol, pela passagem das estações.

Nós precisamos dessa medida; e como muitas coisas diferentes podem acontecer durante uma hora, precisamos de minutos. Por exemplo, se um ônibus parte às 7 horas e 15 minutos e você chegar na rodoviária às 7 horas e 25 minutos, perdeu o ônibus! Usamos o relógio, então, para medir as horas e os minutos. Mas há situações em que o minuto torna-se longo! Então dividimos o minuto em segundos e os segundos em décimos em centésimos de segundo. Por exemplo, quando comparamos o tempo de dois atletas ou carros de Fórmula Um.

Do mesmo modo como dividimos o dia em horas, as horas em minutos, os minutos em segundos, os segundos em décimos, os décimos em centésimos, também podemos dividir qualquer unidade de medida em duas metades, ou em quatro quartos, ou em sessenta partes ou em dez décimos, em cem centésimos, em mil milésimos e assim por diante.

Podemos dividir a unidade de medida em partes porque a unidade de medida é uma invenção e porque desenvolvemos instrumentos de medida (por exemplo, o relógio ou o cronômetro) de maior precisão.

O metro é uma unidade que inventamos para medir comprimento; dividindo o metro em mil partes, temos os milímetros. Na fábrica metalúrgica o milímetro é a unidade de medida mais usada para comprimentos. Mas em muitas situações é necessário usar o décimo de milímetro ou até o centésimo de milímetro para falar da espessura de uma peça ou de um acabamento. Uma régua comum pode medir milímetros; mas para medir décimos de milímetro, precisamos pelo menos de um paquímetro.

O real é uma unidade que mede os valores pelos quais são trocadas as mercadorias, ou são pagos os serviços. Mas em muitas situações o real torna-se uma unidade grande: é preciso dividir o real em centavos. Uma passagem custando R$ 0,65 é diferente de uma passagem custando R$ 0,90; mas ambas custam menos de um real. Há outras situações em que até o centavo torna-se muito grande e então precisamos dividir o real em partes ainda menores que um centavo. Por exemplo, para calcular alguns impostos, ou para realizar câmbios de moeda.

Os números decimais também aparecem em muitas outras situações. Quando calculamos médias, porcentagens ou quando realizamos divisões com resultados não inteiros. Neste módulo, vamos desenvolver atividades onde os números decimais tornam-se necessários. Além de estudar essas diferentes situações, estamos propondo que você desenvolva o manejo dos decimais, através das operações e estimativas.

No final do módulo, estamos propondo alguns desafios com números e figuras para você e os colegas "quebrarem a cabeça". Convidamos você e os colegas a inventar outros! Estaremos aguardando... 

 

Fazendo compras

Num supermercado, alguns legumes e frutas têm preço unitário e outros precisam ser pesados. 

Banana kg 0,58
Batata kg 0,98
Batata (pacote 2 kg)   1,28
Beringela kg 1,58
Beterraba molho 0,98
Cebola kg 0,98
Couve-flor unid 1,58
Maçã kg 1,98
Mamão kg 1,48
Vagem kg 0,78

No balança eletrônica do supermercado, aparecem informações como a do desenho abaixo: 

Peso (kg)
Preço/kg
Preço total (R$)
1,350
1,58
2,13

Que cálculo devemos fazer para conferir se o preço a ser pago está correto?

Se você comprar 1 quilo de beringela, vai pagar R$ 1,58.

Se comprar um quilo e meio, vai pagar uma vez e meia R$ 1,58, isto é, R$ 1,58 + R$ 0,79 = R$ 2,37. 

Então você pode imaginar que comprando 1,350 kg de beringela vai pagar mais do que R$ 1,58 e menos do que R$ 2,37. Isto é uma estimativa, uma aproximação do que você vai pagar.

Compare a estimativa com o seu cálculo.

E o que acontece quando você compra menos de um quilo? Quanto você pagaria por 0,850kg de cebola? E a mesma quantidade de maçã? 

Na tabela abaixo, deixamos alguns espaços em branco para que você complete.

Peso (kg)
Preço por kg
Preço total (R$)
1,150
0,78
2,350
2,30
1,48
3,55
1,700
0,58
3,150
0,98

 

Estimando quantidades pequenas

Qual a espessura de uma folha de papel do seu caderno?

Você pode fazer uma estimativa dessa espessura sem usar a paquímetro. Como?

Compare a espessura da folha do caderno com a espessura de outros tipos de papel (por exemplo, jornal ou cartolina).

Uma torneira pingando pode desperdiçar muita água. Como você poderia calcular o volume de água de uma gota? Faça a experiência.

 

Calculando áreas e preços

No segundo módulo, usamos papel milímetro do para calcular áreas. Você observou que 1 centímetro equivale a 10 milímetros, mas 1 centímetro quadrado não equivale a 10 milímetros quadrados. 

Quantos milímetros quadrados temos em 1 centímetro quadrado?

Da mesma forma, 1 metro equivale a 100 centímetros, mas 1 metro quadrado não equivale a 100 centímetros quadrados.

Quantos centímetros quadrados temos em 1 metro quadrado? Muito mais do que 100. Como você pode chegar a esse resultado?

Imagine uma montadora com 5.000 automóveis no pátio. Você pode ter uma idéia da área que esses automóveis ocupam? São mais ou menos do que 1.000 metros quadrados?

Uma manifestação de desempregados lotou uma praça que tem 100 metros em cada lado. Você pode ter uma idéia de quantas pessoas estavam lá?

Compare suas estimativas com as dos seus colegas.

Agora vamos calcular o preço de uma persiana. Preciso de uma persiana de 1,80 metros de largura por 1,25 de altura. Se o metro quadrado da persiana custa R$ 56,00, quanto vou pagar?

Quero azulejar uma parede com 2,5 metros de altura e 4,3 metros de comprimento. Se o metro quadrado do azulejo custa R$ 5,90, quanto vou gastar?

 

Médias

Para calcular a média das idades de duas pessoas, somamos as duas idades e dividimos por dois. Como podemos calcular a média das idades de dez pessoas? 

Calcule a média das idades dos alunos e alunas da turma.

No Brasil, em 1970, as mulheres em idade de ter filhos tinham, em média, 7,5 filhos. Como isso e possível? Afinal, uma mulher pode ter 7 filhos ou 8 filhos, mas nenhuma terá 7,5 filhos.

Em 1980, essa média caiu para 4,3 filhos. Imagine, com seus colegas, uma situação onde a média de filhos por mulher e 4,3.

Calcule a média de filhos dos alunos e alunas da turma. 

 

Contas de energia elétrica

As contas de energia elétrica apresentam várias informações: em que mês se consumiu mais, qual é o consumo diário (em quilowatts-hora kWh), quanto se gasta por dia com energia (em reais - R$).

Vamos conferir algumas das informações que estão na conta apresentada abaixo. 

O relógio fez uma leitura do consumo em 32 dias. Qual o consumo nesse período? Como podemos calcular o consumo diário?

Qual foi o consumo diário de energia na sua casa? Compare sua conta com a dos colegas.

Quanto você gostou, por dia, com energia elétrica? 

Quanto você e seus colegas gastaram com energia elétrica, em média, no último mês? 

 

Câmbio

A tabela abaixo nos dá a cotação de diferentes moedas estrangeiras pelo Banco Central, no dia 18 de dezembro de 1997. 

Dólar (EUA) 1,11330
Lira (Itália) 0,0006384
Marco (Alemanha) 0,627144
Peso (México) 0,137902

Quantos reais eram necessários, nesse dia, para comprar 100 dólares? E 100 liras?

Com 100 reais, quanto de cada moeda se podia comprar? 

 

Altura e peso

O índice de massa corporal (IMC) é uma maneira através da qual se mede a relação entre a altura e o peso de uma pessoa. Para achar este índice se faz o seguinte cálculo: 

Calcule o seu IMC e compare com os índices que seus colegas acharam.

Idade
Peso
Necessidade diária
Necessidade diária/kg
3 dias
3,0
250 a 300 ml
80 a 100
10 dias
3,2
400 a 500 ml
3 meses
5,4
750 a 850 ml
6 meses
7,3
950 a 1100 ml
9 meses
8,6
1100 a 1250 ml
1 ano
9,5
1250 a 1300 ml
2 anos
11,8
1350 a 1500 ml
4 anos
16,2
1600 a 1800 ml
6 anos
20,0
1800 a 2000 ml
10 anos
28,7
2000 a 2500 ml
14 anos
45,0
2200 a 2700 ml
18 anos
54,0
2200 a 2700 ml
40 a 50

Olhando para a tabela podemos ver que o total de água que uma pessoa precisa beber durante um dia vai aumentando com a idade e o peso.

Mas esse total não aumenta da mesma maneira que o peso! Uma criança de 10 anos, pesando três vezes o que pesa uma criança de 1 ano, não bebe o triplo do que bebe a criança menor.

Na última coluna da tabela temos a relação entre a necessidade diária de água e o peso, de acordo com as idades. Complete a coluna.

Podemos notar que a necessidade diário de água por quilo vai diminuindo. Por que você acho que isso acontece? 

 

Estrutura fundiária do Brasil

Na figura abaixo, temos a distribuição dos estabelecimentos agrícolas pelas suas dimensões e a área ocupada.

Qual é a porcentagem dos estabelecimentos que têm até 100 hectares?

Que parte da área ocupam esses estabelecimentos?

Qual é a porcentagem dos estabelecimentos que têm mais de 1000 hectares?

Que parte da área ocupam esses estabelecimentos? 

Na figura abaixo, temos dados sobre o uso da terra no Brasil.

Quantas vezes a área de pastos é maior que a de lavouras?

Obtenha a porcentagem de cada tipo de uso em relação ao total da área.

Nas regiões Sul e Sudeste, a pecuária ocupa, em média, 5 hectares por boi. Como podemos comparar a produção de alimentos nas áreas de pasto e de lavoura? 

 

DESAFIOS

Jogo com letras e números

Você quer participar de um jogo? Neste jogo cada letra vale um número. Por exemplo: a letra A vale 23, a letra B vale 22, o C vale 21, e assim por diante.

Quanto vai valer a letra P? E a letra Z?
Que regra podemos inventar para descobrir o valor numérico de uma palavra?
E se você usar a regra que inventou, que palavra tem maior valor numérico: BRASIL ou AMÉRICA?
Você sabe qual o valor numérico do seu nome?
Que tal encontrar uma palavra com valor numérico maior que 100? 

 

Tangran

O tangran, um quebra-cabeças chinês, é formado por sete peças recortadas de um mesmo quadrado, conforme a figura ao lado. Com as sete peças, muitas formas diferentes podem ser construídas. 

Será possível construir um quadrado usando duas peças? Três peças? Quatro?

Construa o seu tangran seguindo o esquema da figura.

Tente construir as figuras desenhadas usando as sete peças, sem colocá-las umas sobre as outras. 

 

Moedas no tabuleiro

Desenhe um tabuleiro quadrado (como um tabuleiro de xadrez) com 36 casas.

O desafio é: colocar 18 moedas no tabuleiro, de modo que nenhuma casa tenha mais de uma moeda e que cada linha ou coluna tenha exatamente três moedas.

Compare sua resposta com a dos colegas. 

 

Para não afundar

Um veleiro está afundando e nele estão sete pessoas que poderão se salvar usando dois botes salva-vidas. Você pode ajudá-las a se organizar nos botes? Para ajudá-las você deve levar em consideração que:

a) cada bote pode levar no máximo 300 quilos;
b) três pessoas pesam 70 quilos cada uma;
c) duas pessoas pesam 80 quilos cada uma
d) duas pessoas pesam 110 quilos cada uma. 

 

Jogo com números

Na figura abaixo, cada símbolo está no lugar de um algarismo entre 3 e 7; cada símbolo igual corresponde número igual. Os números no final de cada linha ou coluna indicam a soma dos algarismos representados. Você pode descobrir quais são os algarismos?

 

Referências bibliográficas

ANDRADE Filho, O. Vademecum Pediátrico Glória. Constantes biológicas e dados de utilidade em prática pediátrica .
BASSO, M.V.A. Desafios matemáticos na comunicação via rede. Porto Alegre: UFRGS. Laboratório de Estudos Cognitivos, 1992 [mimeo].
PEREIRA, D, ed. Geografia: ciência do espaço: o espaço brasileiro. São Paulo: Atual, 1994.
PERELMAN, Y. Problemas y experimentos recreativos. Moscou: MIR, 1975.
SNOPE, C. & SCOTT, H. Enigmas maternáticos. Lisboa: Gradiva, 1994.


Texto elaborado com a colaboração do professor Marcus Vinicius de Azevedo Basso.